§ 4. Условные вероятности

В ряде случаев приходится рассматривать вероятности случайных событий, если известно, что произошло некоторое другое случайное событие, имеющее положительную вероятность.

Сначала рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.1. Рассмотрим следующий случайный эксперимент.

Из урны, в которой находится вначале 6 белых и 4 черных шара, наудачу извлекается последовательно два шара, причем вынутый шар обратно не возвращается. Предполагаем, что все шары различны (шары отличаются только цветом).

Обозначим А,В события “ первый вынутый шар будет белый”, “второй вынутый шар будет белый”.

Вычислим вероятности Р(А), Р(В), Р(А Ç В) и P(A/B) - “условную” вероятность того, что первый шар белый, если известно, что белым оказался второй шар.

В данной задаче пространство W состоит из 10× 9 = 90 элементов, из которых 6× 9 = 54 элементарных исхода благоприятствуют событию А,

6× 5 + 4× 6 = 54 благоприятствуют событию В, 6× 5 = 30 благоприятствуют событию

А Ç В. Пользуясь классическим определением вероятности события, получаем:

Р( В ) = Р( А ) = m_А/n = 54/90 =6/10 = 3/5 ,

Р(А Ç В) = 30/90 =1/3.

Если известно, что событие В произошло, то вместо 90 возможных элементарных исходов, может произойти лишь один из 6× 5 + 4× 6 = 54 исходов, из которых 6× 5 = 30 благоприятствуют событию А . Поэтому

P(A/B) = .

Как видим, дополнительная информация (событие В произошло) об исходе эксперимента изменила вероятность события А.

.

Заметим ещё следующее обстоятельство, использованное при подсчете “условной” вероятности

P(A/B) = .

Оказывается, последнее равенство допускает обобщение. u

Пример 4.2. Путь пространство элементарных исходов состоит из n одинаково возможных событий, событию А благоприятствуют m_А элементарных исходов, В - m_l исходов и событию А Ç В - mr исходов. Найдем Р( А/В ).

Заметим, что

Если событие В произошло, то произошло одно из m_l элементарных событий, и тогда событие А произойдет, когда произойдет одно из mr элементарных событий, благоприятствующих событию А Ç В. Поэтому

P( А/В ) = . u

Определение 4.1. Пусть ( W, Á , Р) - вероятностное пространство,

Р( В ) > 0, В Î Á . Условной вероятностью события А Î Á при условии, что событие В имело место, называют отношение

Р( А/В ) = . (4.1)

Из определения 4.1 и свойств вероятности следуют свойства условной вероятности:

1) Р( А/В ) ³ 0;

2) Р( W/В ) = 1;

3) Р( В/В ) = 1;

4) Если Аi (i =1,2, ...) - последовательность попарно несовместных

событий Аi Ç Аj = Æ, ( i ¹ j ), то .

Упражнение: доказать самостоятельно 2), 4).

Теорема 4.1. ( Теорема умножения). Если Р( В ) > 0, Р( А ) > 0, то имеет место равенства

Р(АÇВ) = Р(А)× Р(В/А) = Р(В) Р(А/В). (4.2)

(Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое имело место.)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Доказательство следует из равенства (4.1) и допускает следующее обобщение, которое доказывается методом математической индукции.

Р() = Р( А1 ) Р( А2/А1 ) ... Р( Аn/А1 Ç ... ÇАn-1 ), (4.3)

где Аi (i =1,2, ...) - случайные события такие, что Р(А1Ç...ÇАк ) > 0, к=1, ..., n. ¨

В оглавление